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[摘 要] 问题解决认知过程分析是提高问题解决能力的有效途径和数学教育的重要目标。数学问题解决是复杂的认知过程，认知分析和模拟提供了研究学习过程的新视角。文章分析了认知模拟的相关研究，综合心理学、教育学、脑科学、认知神经科学、人工智能等相关学科研究成果，以小学数学“异分母相加”问题为例，分析了问题解决认知过程，实现了认知模拟及可视化，在此基础上讨论了认知分析与模拟对小学数学教学的启示。
[关键词] 小学数学； 问题解决； 认知分析； 认知模拟
[中图分类号] G434 [文献标志码] A
[作者简介] 魏雪峰（1981—），男，山东莱芜人。讲师，博士，主要从事问题解决认知模拟研究。E-mail：weixfeng@gmail.com。
一、引 言
认知研究已成为世界大国国家科技战略特别关注的领域之一。《国家中长期科学和技术发展规划纲要（2006—2020年）》将“脑科学与认知科学”列为我国科技中长期发展规划的八大前沿科技领域之一 。认知科学就是要“说明和解释人在完成认知活动时是如何进行信息加工的”，[1]通过在心智、脑科学和教育（Mind， Brain and Education）之间建立桥梁，将最新成果应用于学习和教育过程。随着学习科学的发展，许多研究者关注学习者的学习过程。我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，“课程内容要符合学生的认知规律，不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”。[2]数学问题解决是典型的学习活动，分析问题解决认知过程有助于深入了解学生数学认知规律。本文分析了认知模拟的相关研究，综合心理学、教育学、脑科学、认知神经科学、人工智能等相关学科研究成果，以小学数学程序性知识典型问题为例，分析问题解决认知过程，实现认知模拟及可视化显示，并讨论对小学数学教学的启示。
二、认知模拟相关研究
许多研究者使用计算机模拟的方法来研究问题解决的内部过程。纽厄尔和西蒙编写了第一个模拟人类解决问题的计算机程序——逻辑理论家（Logic Theorist，简称LT），成功模拟了人证明符号逻辑定理的认知过程[3]。LT证明了Whitehead所著数学名著《数学原理》中的全部52条定理，实现了对人类启发式搜索的问题解决过程的模拟。纽厄尔和西蒙开发了通用问题解决者（General Problem Solver，简称GPS）程序[4]。该程序主要是依据“手段—目的分析”方法编写而成，成功模拟了定理证明、河内塔（Tower of Hanoi）、传教士和野人过河等多种不同类型的问题。Hiller等人开发了模拟人谱写乐曲的计算机程序[5]；纽厄尔等人开发了模拟人下棋的程序[6]；纽厄尔等人根据经验修改其自身许多方面，进而达到“学习”的计算机程序[7]。西蒙对顿悟、理解等思维和问题解决的行为进行了计算机模拟，他认为计算机模拟是一个预测和解释大量思维现象的强有力工具[8]。
在数学问题解决认知模拟领域，安德森等人使用ACT-R模拟了代数方程式“7x+3=38”的解题过程[9]，魏雪峰对典型陈述性知识小学五年级“众数”问题实现了认知模拟[10]。几何证明是重要的数学问题，Gelernter等人开发了模拟人证明几何定理的计算机程序——几何机器（Geometry Machine）[11]，李莉等人使用ACT-R实现了平行证明几何问题的认知模拟[12]。我国学者吴文俊院士提出了一种几何定理机器证明的数学算法，被称为“吴方法”[13]。张景中院士等人在“吴方法”的基础上进行改进，使新的算法实现了几乎所有几何证明题的自动解题[14]。
综合以上分析可知，现有的数学问题解决认知模拟主要存在以下不足。
（1）数学问题的计算机自动解答，虽然取得了巨大进展，但仅从机器角度实现，和数学课程所要求的解答有很大的不同，没有考虑学生问题解决的过程，解题所用的方法也常常超出学生所掌握的知识范围[15]，不能对教学提供帮助和指导。
（2）卡耐基梅隆大学安德森（Anderson J. R.）教授带领的研究团队对数学问题解决的认知过程进行了研究，并提出了用于指导模拟和理解人类认知的ACT-R理论，但没有给出如何分析小学数学问题解决认知过程。
（3）已有研究仅从各自视角对数学问题解决进行了分析，未能综合相关学科的研究成果，缺乏实质性的学科交叉研究。
三、小学数学问题解决认知模拟
（一）典型问题
研究过程中分析的内容是小学五年级下册第四单元“分数的意义和性质”中的“异分母相加”知识点。[16]“异分母相加”知识点的教学目标是学会计算两个异分母相加，是小学数学程序性知识典型问题。
在学习“异分母相加”之前，学生已经知道自然数2、3、5的倍数特征，了解公倍数和最小公倍数。在1～ 100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
根据“异分母相加”知识点和学生的特点，设计了以下题目：
“请给长方形纸张涂颜色，整张纸的1/3涂成黄色，整张纸的2/5涂成黑色，颜色不能相重（即涂黄色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黄色），黄色和黑色共占整张纸的几分之几？”
（二）认知过程分析
认知模型是分析问题解决认知过程的依据。以小学数学问题解决认知模型（A Cognitive Model of Mathematical Problem Solving，CMMPS）[17]为分析框架，该认知模型包括视觉模块（Visual Module）、产生式模块（Production Module）、提取模块（Retrieval Module）、目标模块（Goal Module）、问题状态或问题空间模块（Problem State Module，也称为Imaginal Module）、输出模块（Manual Module）等六个模块。“异分母相加”问题解决的认知过程可描述为：