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摘要：文章重点描述了相同步在研究复杂网络集体动力学行为中的重要性，概述了基于模块化复杂网络的相同步的判定方法，选取Logistic映像为动力学方程，详细说明了两种应用广泛的相同步判定方法，其一为方向相，其二为最小值匹配。
关键词：复杂网络;模块网络;同步;相同步;Logistic映像
中图分类号：TN711.6 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）36-0183-02
Abstract： This paper investigated the development of phase synchronization in the complex networks with community structure， and emphasized the important of phase synchronization in the study of the dynamic behaviors. The local dynamics is the well-known logistic map. Phase synchronization of coupled dynamical systems defined in two ways， i.e.， the direction-phase and the minima match.
Key words： complex network; modular network;synchronization; phase synchronization; logistic map
1 概述
自然界和人类社会中的许多系统，都可以用复杂网络来描述。因为复杂网络抓住了这些系统最基本的特征：基本单元，相互作用。其中用节点来描述基本单元，用边来表述基本单元之间的相互作用。目前为止，研究最为广泛的三类复杂网络模型为：随机网络（ER network）[1]，小世界网络（small-world network）[2]，无标度网络（scale-free network）[3]。在复杂网络的研究过程中，首先需要明确以下定义。度：每个节点的直接邻居总数;平均路径长度：路径长度为路径开始节点与终止节点之间的链路数，一般采用最短的路径长度作为两个节点间的有向路径，平均路径长度为所有有向路径的平均值;聚类系数：表示一个图形中节点聚集程度的系数，该系数可以用来衡量网络中关联性如何，值越大代表交互关系越大;熵：熵是从信息论中借用的一个术语，是对信息传递不确定的度量，因此熵是网络中随机性的比特数，熵越高，网络的随机性就越高。
对随机网络的研究由来已久，最早可追溯到20世纪50年代。随机网络有两种典型的构造方法，其一，在随机选择的节点对之间添加连边，直到所需的链路数量为止（ER）;其二，从完全网络出发，删除随机选择的连边，直到所需的链路密度为止（Gilbert）。随机网络度的概率密度分布服从泊松分布，并具有较大的平均路径长度，较大的熵，以及较小的聚类系数，意味着较少的结构。随着研究的深入，科学家发现大多数物理、化学和生物系统不是随机分布的，而是具有特定的结构。因此，对复杂网络结构的研究，激发了广大研究者的兴趣。20世纪末，小世界网络的研究由Watts和Strogatz提出，可以通过随机化一个规则网络的连边来创建。小世界网络处于规则网络和随机网络之间，促使其较随机网络或规则网络更倾向于同步。小世界网络度的概率密度分布服从类似泊松分布，具有高聚类系数、较短平均路径长度和可以扩展的熵。小世界网络的熵，可以低至规则网络的熵值，亦可高至随机网络的熵值。小世界网络的突出特点是具有较高聚类系数。无标度网络是Albert和Barabasi的先驱工作，其特点是度的概率密度分布为幂律分布。幂律分布与指数分布类似，但尾部消失较慢，因此也被称为“厚尾分布”。无标度网络是具有少量高度节点和大量低度节点的网络，可以通过偏好连接构造一个规范的无标度网络。例如，从3个节点开始，余下节点中每个节点通过添加确定的连边数，附加到已经存在的节点上而被连接到网络上。后续的研究证明，许多基础设施系统，如互联网、天然气和石油系统，均是无标度的。
因此，对无标度网络属性的研究，虽然对单一复杂网络的研究非常深入，但是反观实际系统，存在局部区域内部相互作用密切，但是不同区域之间相互作用稀疏的情况，更为重要的是各个区域之间的相互作用模式又各不相同。例如，运输网络：飞机、铁路、公路网络[4];社会网络：社交、合作、金融网络[5];生物网络：食物链、新陈代谢、蛋白质相互作用网络[6]等等。我们以社交网络为例，人类的社交途径繁多，人们在现实世界中的相互交往可以构成复杂的社交网络，人们通过聊天软件的相互关注亦可构成社交网络。在社会交往活动中，可能会因兴趣爱好、教育背景、生活区域的不同，形成不同的交往密切的团体。但是不同团体之间的交互，或许只需要几个重要的中间人即可。因此，传统单一的复杂网络模型，已經无法满足对实际系统较为真实的描述。故此，引入了具有模块化结构的复杂网络模型，该模型的特点为属于模块内部的各节点之间连接紧密，而各模块之间的连接较为稀疏。依据各模块之间连接方式的不同，该模型又有不同的名称：多层网络（multilayered networks），多重网络（multiplex networks），模块网络（modular networks），相互依存网络（interdependent networks）[7-9]等等。
对具有模块化结构的复杂网络的研究主要分为两个方面，其一，对模块网络拓扑结构的研究。依据模块之间的连接方式，具有模块化结构的复杂网络的拓扑结构各不相同。比如社交网络，能够连接在同一个社交网络的人群，没有明确的等级划分，因此，使用单层的模块网络模型就可以准确的描述人群之间的社交关系。还有很多实际系统所表现出的属性，使用单层模块网络无法准确描述。例如，企业的人事管理网络，该网络有明确的等级划分，上级与下级之间有稀疏的连接关系，但同级之间又联系紧密，而且同级之间的联系也有亲疏之分，这样就促使多层网络拓扑结构的研究。其二，基于模块网络集体动力学行为的研究。模块网络仅仅是静态的网络拓扑结构，但实际系统中不仅有静态的拓扑结构，还有动态的行为传播。在社会网络中的行为传播最为熟悉，比如病毒传播，一个携带传染源的病人，会将病毒传染给与他接触过的人，该病毒就会通过社交网络进行传播。当然，有时病毒只会在较小的范围内传播，有时就会大规模爆发。因此，研究基于静态网络的动态行为传播研究具有很重要的现实意义。
基于复杂网络的集体动力学行为研究的一个主要方面为同步，例如，完全同步（complete synchronization），相同步（phase synchronization）， 滞后同步（lag synchronization）， 广义同步（generalized synchronization）[10]等。其中完全同步研究较为全面，指的是各节点的动力学行为完全一致。但是满足完全同步的条件非常严格，在实际中很难满足，而且有的完全同步对实际系统有负面的影响，比如社交网络中集体疾病爆发，电网中所有电站均达到负载上限等，故我们可以研究较弱程度的同步，即为相同步。相同步的特点是节点之间相位的调整，意味着不同节点的相位之间满足一定的关系[11]，并且节点的振幅依然保持混沌，而且不相关。通常而言，在系统达到完全同步之前，节点的相序会表现出一定的规律行为，甚至出现相同步。由此可见，研究相同步对系统完全同步之前的集体动力学行为有预判作用。此外，基于复杂网络的相同步的研究依然不够成熟，尤其是基于模块化结构的复杂网络的研究。
2 相同步的判别方法
本文研究具有N个节点的复杂网络，其动力学演化方程为：
其中，xt（i）为节点i在t时刻的动力学变量，ε为耦合强度（取值范围[0，1]），ki代表了节点i的度，Aij为复杂网络的邻接矩阵（如果Aij=1，表明节点i与j相连，否则不相连），f（x）为动力学方程，本文的研究对象选取的是Logistic映像。
2.1 方向相判别法
参考文献[12]中引入了方向相的判别方法。对于节点i，如果t+1时刻x的值大于t时刻x的值，表明它处于向上相位，并标记为“+1”;反过来则表明处于向下相位，标记为“-1”。用St（i）表示方向相，其定义如下：
基于方向相的定义，引入了[Θ]的定义，
当[Θ=1]时，所有的节点拥有一致的方向相，即为相同步状态;当[Θ=0]时，表明有一半的节点拥有相同的方向相。因此，我们可以使用[Θ]参量来判别相同步。
2.2 局部最小判别法
参考文献[13]中引入ni和nj两个参量，统计在时间间隔内，时间变量xt（i）和xt（j）局部最小的次数，其中对于节点i和节点j，t=1，2，…，T。nij用来表示节点与节点在观测时间内同时局部最小的次数。
dij用来表示节点i和节点j之间的相距。因此，当dij=0时，表明变量x（i）和x（j）的所有最小值都是相匹配的;当dij=1时，表明所有的最小值都不匹配。所以，如果dij=0，表明节点i和节点j是相同步的。
3 总结
概之，具有模块化结构的复杂网络模型是对实际系统较为真实的模拟，基于该模型的相同步的研究，有助于判断完全同步之前的集体动力学行为。其研究结果不仅能够丰富我们对复杂系统动力学的认识，同时也可以为我们改造和利用实际复杂系统提供有意义的理论指导和方法上的借鉴。
参考文献：
[1] Erdös P and Rényi A. On random graphs[J]. Math，1959（6）：290.
[2] Watts D J and Strogatz S H. Collective dynamics of ‘small-world’ networks[J]. Nature，1998（393）：440.
[3] Barabási A L and Albert R. Emergence of Scaling in Random Networks[J]. Science，1999（286）：509.
[4] Barthélemy M. Spatial networks[J]. Phys. Rep.，2011，499：1.
[5] Wasserman S and Faust K. Social Network Analysis： Methods and Applications[M]. Cambridge： Cambridge UniversityPress， 1994.
[6] Albert R and Barabási A L. Statistical mechanics of complex networks[J]. Rev. Mod. Phys.，2002，74：47.
[7] Buldyrev S V， Parshani R， Paul G， Stanley H E and Havlin S. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks[J]. Nature，2010，464：1025.
[8] Gao J X， Li D Q and Havlin S.From a single network to a network of networks[J]. Natl. Sci. Rev.，2014，0：1.
[9] D’Agostino G and Scala A. Networks of Networks： The Last Frontier of Complexity[M]. Switzerland： Springer， 2014.
[10] Pikovsky A， Rosenblum M and Kurths J. Synchronization A universal concept in nonlinear sciences[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2001.
[11] Zheng Z G and Hu G. Generalized synchronization versus phase synchronization[J].Phys. Rev. E，2000（62）：7882.
[12] W.Wang， Z. Liu， and Bambi. Hu. Phase Order in Chaotic Maps and in Coupled Map Lattices[J]. Phys. Rev. Lett.，2000（84）：2610.
[13] F. S. de San RomanS，BoccalettiD，Maza， et al. Weak Synchronization of Chaotic Coupled Map Lattices[J]. Phys. Rev. Lett.，1998（81）：3639.
[通聯编辑：梁书]