内容摘要：经济系统是一个演化着的复杂系统，具有复杂的层次结构。近年来，系统科学理论的进展为研究经济系统提供了新的思路和方法，对资产发展方程的研究已取得一些成果。本文讨论了一类非线性经济发展系统的半离散模型，利用泛函分析和积分方程理论得到其解的存在性和唯一性，以期为今后经济决策的制定提供理论依据。
关键词：非线性经济发展系统半离散模型存在性唯一性
引言
经济系统是一个演化着的复杂系统，具有复杂的层次结构。近年来，系统科学理论的进展为研究经济系统提供了新的思路和方法，对资产发展方程的研究已取得一些成果。经济系统是人参与的系统，这个系统的功能归根到底是为了生产和消费。从这个意义上讲它是个生灭系统，生产过程代表了生的过程，为居民提供消费品并且为再生产注入新的资产；消费过程和生产过程中的资产消耗代表了灭的过程。生灭过程在客观世界中是广泛存在的，如生物种群的繁衍，人口的出生和死亡，森林的开采和种植等。本文从这个思想出发，应用系统科学和控制论方法，引入双变量的连续函数，既考虑资本与时间的关系，又考虑资本的役龄，用积累率控制投资规模，建立如下资产的连续发展过程的线性模型：
（1）
其中Ω=(0,am)，Q=(0,am)×[0,T]，p(a,t)为时刻t资产按役龄a的分布密度函数，μ(a,t)为时刻t役龄为a的资产相对折旧率，r(t)为时刻t资产的积累率，b(a,t)是按役龄的资产产出率，它与劳动力构成和技术以及管理水平等因素有关，p0(a)为初始时刻资产按役龄a的分布密度函数，N(t)为时刻t的资产总量。
线性系统模型（1）忽略了企业与社会环境间的制约关系，而环境制约在动力系统中普遍存在。对于企业的发展过程而言，环境制约主要来自两个方面：一是由于受科技进步的影响，企业资产除了物理磨损外，还存在着精神磨损的问题，也就是企业的部分资产在报废前脱离生产过程，其实际使用年限低于其物理使用年限；二是由于受消费总量的制约，企业在一定时期会出现生产负荷不足，部分资产长期闲置、转让或改为它用，也就是脱离其原来所在的生产过程。这就使得企业的生产规模不可能无限制地扩大，从长期观点来看，呈现非线性发展趋势。
设f（N(t)）为t时刻单位时间内退役的资产与企业资产总量的比值，称为环境制约函数（俞迎达，1997），它是仅与资产总量N(t)相关的非负函数，f(x)≥0为定义在[0,+∞]上的连续单调增加函数，且f(0)=0，将环境制约函数引入到方程（1）中得到如下非线性非定常企业资产发展方程：
（2）
半离散逼近法是求用抛物型方程描述的物理和工程问题的数值近似解的一种重要的方法，利用半离散逼近法可以把一个抛物型偏微分方程化为一个矩阵常微分方程，而后者在许多问题上都可以作为原问题的近似，半离散逼近方程还保持了原问题的许多重要物理意义。本文利用此方法将经济发展系统中的一类非线性模型（2）化为一类具有广泛意义的半离散模型，该模型是按时间连续役龄离散得到的，本文证明半离散模型解的存在性和唯一性，这为今后经济决策的制定提供了理论依据。
半离散模型
在本文中，假设μ(a,t)∈C(Q)，r(t)∈C(0,T)，b(a,t)∈C(Q)。对资产分布密度函数p(a,t)关于役龄a离散，保持时间变量t连续，用半离散逼近法求经济系统（2）的半离散模型。
首先，对区间[0,am]作如下划分：0=a0 由（其中），可得 （其中）。 其次，对方程（2）中第一个等式的两边从ai到ai+1积分，可得： (i=0,1,…,n-1)。 即，所以，。 记，略去高阶项，可得： 记X(0)=(x1(0),x2(0),…,xn-1(0))T=X0，如果定义范数：，则，对方程（2）中的边界条件离散化：（其中bi(t)=b(ηi,t)，ai≤ηi≤ai+1)，所以， 由公式（3）、（4）、（5）可得方程（2）的半离散模型为： 本文引进向量与矩阵表示，令X(t)=(x1(t),x2(t),…,xn-1(t))T，X(0)=(x1(0),x2(0),…,xn-1(0))T，则有： 半离散模型解的存在性和唯一性 当f(N(t))=0时，可建立如下的线性半离散模型： 对方程（8）进行分析，有如下结论： 定理1：设r(t)，bi(t)，μi(t)(i=1,2,…,n-1)为t≥0的连续函数，则方程（8）对任何初始状态X0都存在唯一古典解。 证明：任给T>0，取状态空间H=C([0,T]；Rn-1)，选择Rn-1中的通常范数，令，定义映射，则 （其中）。 类似地，可得 ，一般地，，因此，对任意正整数n及0≤t≤T，有 。 现在，取n充分大使得，则由Banach压缩映像原理（张恭庆，1978）知，F在C([0,T]；Rn-1)中存在唯一不动点X(t)，满足，两边求微分可知X(t)是方程（8）的解。 由T的任意性，对t≥0，方程（8）存在唯一古典解，定理得证。 定理2：方程（7）有古典解的充分必要条件是：存在一个非负连续函数N(t)，使得（其中Nq(t)=y0(t)+y1(t)+…+yn+1(t)，(y0(t),y1(t),…,yn+1(t))T是（8）的解）。 证明：记。若X(t)是方程（7）的解，则 ，易证 yi(t)是方程（8）的解。 因此， ，从而，即。 反之，若存在一个非负连续函数N(t)，满足，则，易证X(t)是方程（7）的解，定理得证。 定理3：若f是非负单调增加连续函数，则方程（7）的解是唯一的。 证明：由定理2可知，方程（7）存在古典解。 假设X(t)=(x0(t),x1(t),…,xn-1(t))T，Y(t)=(y0(t),y1(t),…,yn-1(t))T都是方程（7）的解，则N1(t)=x0(t)+x1(t)+…+xn-1(t)，N2(t)=y0(t)+y1(t)+…+yn-1(t)。 由定理2可得， 与都是方程（8）的解。又由定理1可得，= ，从而= 若xi(t)>yi(t)，则N1(t)>N2(t)，从而>，这与（9）式矛盾，所以xi(t)>yi(t)不成立。 若xi(t) 定理4：若f满足Lipschitz条件，则方程（7）的解是唯一的。 参考文献： 1.于景元，郭宝珠，朱广田.人口分布参数控制系统理论[M].华中理工大学出版社，1999 2.周天勇.劳动与经济增长[M].上海三联书店，1994 3.宋建，于景元.人口控制论[M].科学出版社，1988 4.Jiao Hong-bing，Yu Jing-yuan，Qi Chuan-da.Solution of a class of Investment Developmental Equations[J].系统科学与数学，2000（2） 5.Zhang Qi-min，Nie Zan-kan.Existence and Uniqueness of Solutions for Stochastic Forest Evolution[J].应用数学，2003（4） 6.焦红兵，姚兰，刘文菡等.含有时滞的CES生产函数的资产投资模型解的稳定性[J].数学的实践与认识，2006（2） 7.焦红兵，刘会茹.一类非线性的经济系统控制模型的稳定性分析[J].数学的实践与认识，2006（8） 8.于景元，赵军.经济系统的控制模型及其解的性质[J].控制与决策，1996（4） 9.于景元，赵军.经济增长中的投资控制模型[J].系统工程理论与实践，1996，16（4） 10.刘会茹.带有环境制约函数的非线性企业投资方程解得渐进性[J].平顶山学院学报，2007（4） 11.张红梅，刘会茹，蔡慧萍等.线性经济发展系统解得性质研究[J].数学的实践与认识，2010（23） 12.李红，李大潜.经济增长的控制模型研究.北京信息控制研究所博士论文，2002 13.俞迎达.投资经济数理分析[M].海洋出版社，1997 14.于景元，郭宝珠，朱广田.半离散人口发展系统的控制[J].系统科学与数学，1987（7） 15.张恭庆.泛函分析讲义[M].北京大学出版社，1987 16.谷超豪，李大潜.应用偏微分方程[M].高等教育出版社，1993