【摘 要】 以逻辑性和理性为特征的数学思维对学生的成长发展起着重要作用，但受到传统重视知识讲授的思想影响，数学课堂单一地重视知识内容的传递而相对忽视了对学生思维的培养，这与新课改理念相悖。要更好地培养学生的思维，需要在打牢知识基础的同时，更多地运用直观教学，鼓励学生自主思考，注意对解题方法和思路的总结。
【关 键 词】 思维;数学课堂;知识
【基金项目】 *本文系四川省泸州市李建军名师工作室研究项目“高中数学课堂学生主体性学习现状研究”研究成果之一。
【作者简介】 李建军，正高级教师，数学学士，主要从事高中数学教学研究;周序，厦门大学教育研究院助理教授，教育学博士，硕士生导师，主要从事课程与教学论研究。
“为了每一个学生的发展”，这是新课改确立的基础教育课程教学的新使命。就高中数学课而言，其使命不仅限于让学生掌握数学基础知识和基本技能，更重要的在于培养和发展学生的数学思维，使学生成为一个会思考、善于思考的人。
一、数学思维及其特征
思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是一类事物共同的、本质的属性和事物间内在的、必然的联系。这些内在的、必然的联系是看似纷繁芜杂的事物间的共同因素。因此杜威认为，“思维即是一种自觉地理解共同因素的过程”，能够敏锐地捕捉和把握这些共同因素，是有效的分析和推理的前提。杜威指出：“一个有思维的人，行动取决于长远的考虑。它能做出有系统的准备。它能使我们的行动具有深思熟虑和自觉的方式，以便达到未来的目的，或者说指挥我们去行动以达到现在看来还是遥远的目的”。可见，思维对人的生活以及发展而言，具有非常重要的意义。因此，教育“应当使学生致力于培养思维的正确性，作为达到实际的智慧即理智的行为的一种手段”。
在高中学习阶段，文史类课程重在培养学生思维的灵动性，而数学课则更加注重培养学生思维的逻辑性和理性。逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建。用数学的方法思考关于推理、证明等问题的过程即数理逻辑思维过程，数理逻辑的创始人莱布尼兹提出建立“普遍的符号语言”、推理演算和思维机械化的思想，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使其更为精确和便于演算。后人对数理逻辑的发展基本上都是沿着莱布尼茨的方向前进。数理逻辑思维的特点就是采用数学符号和公式作为思考的基础和手段，讲究证明，追求推理过程的完善性。因而，逻辑、理性和讲究证明是数学思维的显著特征。
数理逻辑思维对学生的发展具有独特的价值。一个人的逻辑思维发展水平越高，对事物的分析就越全面、越深入，得出正确判断的可能性就越大。通常而言，我们形容逻辑思维能力较强的人为一个理性的人，就在于逻辑思维能够帮助我们进行更加准确地分析和判断。因此，中学数学课程虽然将大量时间花在对数学问题的分析和解决上面，但分析和解决问题不是教学的目的而是手段。中学数学课的使命在于通过对题目的讲解和练习来促进学生数学思维水平的提高。
我们可以根据学生分析和解决问题的步骤将学生的数学思维活动划分为如下四个阶段：一是审题阶段，包括认清问题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立问题的条件、结论与知识、经验之间的联系，为解决问题做好知识上的准备，这是思维活动的开始。二是寻求解题途径阶段，在这一阶段中，学生有目的地进行各种组合试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。这一阶段是数学思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整。三是实施计划阶段，学生将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据进行对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。这个阶段是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是思维活动的重要组成部分。四是检查与总结阶段，学生在求得最终结果以后，检查并分析结果，探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识和技能，并将新知识和经验加以整理使之系统化。这一阶段往往容易为人们所忽视，但它却是发展学生数学思维的一个重要环节，是一个思维活动过程的结束，同时又是另一个新的思维活动过程的开始。
二、思维培养意识的缺乏及其根源
数学思维并非一项完全天赋的能力，而是需要借助教育的指导才能充分实现其机能。但在教学实践中，对学生数学思维的培养却长期处在一个不受重视的地位。在数学课堂中，出于某些功利性目的的需求，通过典型例题教给学生某种技巧，或者通过大量训练让学生总结解题经验，成为主流的数学教学模式。正如有的理论研究者指出，“学生想要在考试中拿高分，不得不依靠各种各样的应试技巧和针对各个考点进行的反复练习”;实践中很多教师也认为，学生只要记住几种解题的套路，能够在考试中取得高分就代表了教学的成功。因此，一线教师的教学往往以内容为中心，重在向学生讲解一道又一道的题目，解释一种又一种的解题方法，而学生需要做的就是记住这些方法，以便在今后的考试当中能够应用。为了提高传授内容的效率，教师不甚关心学生如何出错，更多的是直接告诉学生正确的答案和解题过程，以节约时间。
教师对答案正确与错误的关注，带给学生一种认识，即学习的内容比发展和运用思维更重要，学习的结果比过程更重要。这就助长了学生思维的被动性：只需要被动地记住答案即可，而不需要主动地进行思考。被动性和思维是对立的，它不仅表示缺少判断和理解，也表示好奇心的减弱，使学习成为一桩索然无味的苦差事。我们在实践中经常可以看到这种重学习结果轻思维过程的情况：教师在评讲习题的时候，如果学生遇到某道题目没有听懂，他们往往都会记下这道题目的正确答案是什么，却很少再课后去追问为什么，也很少思考正确答案是怎么得出来的，因而他们记录的正确答案实际上沦为一个个毫无意义的符号。
发展思维意味着将课堂的主动权交给学生，学生需要多进行思考、探索和尝试错误;而重视内容传授则意味着教师应该多讲，而学生要做的是认真听，认真记忆。我们必须看到，教学实践中这种重内容而轻思维的现象并非广大教师的自发选择，而是有着深刻的理论根源。在国外，早有专家对学生的认真“听讲”进行了积极的肯定：“当学生听某种讲解时，他的内心是积极活动的，虽然表面上他一点不动。如果他的内心是消极的，不活动的，那他什么也听不懂，什么也进不了他的意识中去”。而在国内也长期存在类似的观点，甚至将学生“静听”的过程也视作一个主动学习的过程：“人的听话过程包含着极其复杂的心理活动，他必须快速地将一连串声音转变为可以理解的信息。在从声音到语义的各个层次上，听话人都参与了从无意义的声音中建立意义单位的活动，可以说，言语的理解是一系列积极的、在经验知识指导下的操作活动”;“一个摆弄着玩具或者实物的儿童是在积极地建构，而一个认真地听取教师‘讲授’的学生同样可以是在积极地建构：内隐的、无形的、无声的建构”，这种说法虽在理论上有一定的道理和深刻性，却被长期的实践结果所否定：广大通过认真“听讲”进行学习的学生往往缺乏创新能力，“高分低能”现象突出，就是最好的明证。但是，这种主张教学应以内容为主而忽视思维培养的观点在课堂教学中有着长期而深刻的影响，“知识掌握”长期成为最主要的教学目标，“讲授法”成为最重要的教学方法;反之，思维的培养在数学课堂中则一直处于弱势地位。虽然新一轮课程改革提出的一条重要理念就是“改变课程过于注重知识传授的影响”，但是，片面重视知识传授而忽视思维训练的情况至今未能得到显著的改善。究其原因，不少教师长期形成的教学习惯和根深蒂固的传统教学观念便是最大障碍。
三、为思维而教：可能的教学策略
要真正实现新课程改革关于打破“知识和技能这一单一维度‘一统天下’的格局”，将学生思维能力、创新能力的发展推上前台这一目标，不宜过多地进行理论上的纠缠，需要打破教师们习以为常的教学方式和观念，让教师在教学实践中自觉探索培养学生思维的教学策略。从自身教学经验出发，课堂上培养学生数学思维的方法应该与学生思考数学问题的四个阶段相适应。据此，我们拟提出如下一些有助于提高学生思维能力的教学策略：
1. 精讲基础：帮助学生找到问题的突破点。通过对数学问题的分析培养学生的思维，审题是起点。审题要求学生能够看懂题目，分析清楚已知条件之间的关系，并能联系到学过的知识点，因而，相应数学知识和方法的掌握就成为思维培养的基础，如果不能准确地把握基础知识与方法，思维培养便无从谈起。在数学课堂中，所谓基础知识包括公理、定理、公式，以及一些主要的推论等。而基本方法包括两大类，一是解题方法，如配方法、反证法、综合分析法、换元法、类比法等;二是思想方法，如函数思想、方程思想之类，对于涉及变量问题的题目，需要学生运用函数思想进行思考，而对于涉及等量问题的题目，则要求学生具有方程思想。基础知识和基本方法都是数学课堂的基本教学内容。这些内容量少，难度小，但很重要，可以通过教师“精讲”的方式让学生掌握。培养学生的思维不能轻视基础知识内容的掌握。没有内容，思维就沦为无本之木，无源之水，失去了根基;但如果只有内容而忽视思维，内容也就失去了生命力。因此，在改革课堂教学的时候，教师需要合理地分配内容和思维在教学中的比重，绝不能矫枉过正。
2. 直观教学：让学生尽快找出解题途径。学生思维的第二个阶段是寻求解题途径。思维虽然是一种思辨性的活动，但并不排斥用实物或图像作为辅助思维的工具，以便使学生能够更快地找出解题途径。例如，在培养学生空间思维的时候，若能借助实物则能极大地提高学生理解知识的效率。如：可用两根粉笔演示异面直线即“不平行且不相交的两条直线”，以帮助学生尽快跳出平面几何的思考方式;可让学生观察教室的任意一个墙角，以理解“三个平面两两垂直”，等等。因此在数学课堂当中，可多采用演示、观察等方式让学生逐渐形成空间思维，这比单纯地通过数学符号去证明两条直线是否平行、两个面是否垂直更容易让学生理解和接受，也能让学生建立在直观感受基础之上的空间思维能力更加牢固和可靠。又如，数形结合思想也是一种很重要的数学思维方式，在曲线与方程、函数解析式与函数图像等内容当中具有非常重要的价值。例如一元二次方程根的分布问题、一些特殊方程根的个数问题等，都可以利用函数图像进行解决。培养学生的数形结合思想，需要教师较多地采用画图的方式进行，以提高学生思维的灵活性和准确性，让学生更快速、更准确地找到问题解决的途径。
3. 自主思考：让学生成为问题解决的主体。在数学课上，分析和解决数学问题是培养学生思维的主要手段。听讲可以让学生了解和理解一种问题解决方法，却无益于他们进行自主的思考和探索。对于学生思维的培养而言，让他们拥有一个自己独立思考问题、探索解决方案的机会，比单一的理解、解题过程更为重要。因此，从培养数学思维的目的出发，教师应该给学生留足自主思考的空间，鼓励学生互相探讨和交流他们对问题的理解，从而提高学生的自主思考能力。笛卡尔说“我思，故我在”，要有效地培养学生的数学思维，就必须让学生时常处于一种积极的“我思”状态;而另一方面，教师的讲解不能代替学生的自主思考，因此应把教师的角色定位为“发展学生思维的‘他者’”，绝不能越俎代庖。
当然，鼓励学生的自主思考并不意味着对教师作用的忽视，在学生思考和探讨的过程中，教师需要做好介入的准备，因为学生的思考不可能总是沿着正确的方向前行，他们的讨论也可能偏离了问题的关键所在，如果没有教师的介入和引导，学生的思维就可能产生大的偏差，脱离教学方向，甚至走向反面。为了保证学生思维的连贯性和合理性，教师在如下一些时刻必须介入：当学生的讨论得不出结果的时候，教师需要指引学生走向正确的方向;当学生之间产生较大争执的时候，教师需要进行分析和判别，以避免一些不必要的错误;当学生得出了结论的时候，教师需要进行总结和点评;当学生用不同方法都得出了结论的时候，教师需要进行归纳和比较。这样，学生的自主思考和老师的帮助就能够比较合理地结合起来，真正促进学生思维的进步。
4. 求“精”而非求“多”：恰当的总结比大量练题更加重要。无论何种教学都必然重视对效率的追求，但对于学生的思维培养而言，高效率的思维培养并不意味着在同一时间里带领学生分析更多的数学命题，或者让学生完成更多的数学练习;效率提高的关键在于教师的课堂设计：将同一类型的题目集中起来引导学生去分析、思考，以加深学生对此类题目的理解，巩固记忆效果;让学生尝试用多种方法解决同一题目，以加强学生灵活运用多种知识，采取多种方法的能力;将某一道题目进行适当变化之后让学生反复思考，以保证学生的融会贯通。在这一过程当中，对所谓“类型题”、“一题多解”、“一题多变”等题目的分析在精而不在多，在十分钟内讲五道题的效果并不必然比只讲两道题效果好，关键在于学生是否通过对题目的分析和思考总结出了恰当解题的规律和技巧。如果学生通过对数学问题的分析之后能够总结出一定的规律，并能够在今后的解题过程中加以运用，那么他的思维就获得了一定的发展，也就意味着课堂教学的有效;反之，如果学生无法总结出相应的规律或技巧，而只是记住了最后的答案，那就说明他的思维能力还未能得到提高，“为思维而教”的目的就没有得到实现。因此，需要教师在课前精心挑选题目，认真设计教案，以便学生从解题过程中发现规律，提升思维能力。
参考文献：
[1] 约翰·杜威.我们怎样思维[M]. 姜文闵，译. 北京：人民教育出版社，1991（3）：56.
[2] 华东师范大学教育系，杭州大学教育系.现代西方资产阶级教育思想流派论著选[M]. 北京：人民教育出版社，1980.
[3] 周序，管浏斯.评新课程改革中知识的地位之争[J].教育学报，2007（5）：42.
[4] 阿·尼·列昂节夫. 活动意识个性[M].上海：上海译文出版社，1980：192-193.
[5] 柏舟.言语理解过程中的记忆[J].现代外语，1989（3）：2.
[6] 丛立新.讲授法的合理与合法[J].教育研究，2008（7）：66.
[7] 教育部基础教育司组织编写.走进新课程——与课程实施者对话[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
[8] 钟启泉，有宝华.发霉的奶酪——《认真对待“轻视知识”的教育思潮》读后感[J]. 全球教育展望，2004（10）：5.
[9] 吕星宇.对话教学：为思维而教[J].教育学报，2008（6）：35.